Grup Siklik

Jika G adalah suatu grup, a ∈ G

H = { ­­­a I n ∈ Z }

Adalah subgroup dari G.

Jika di berikan grup G, dan a ∈ G, jika G =  { ­­­a I n ∈ Z }, maka G dikataka grup siklik yang dibangun oleh a. Notasi G = < a >

Teorema 1

Semua Grup Siklik adalah grup komutatif

Namun, kebalikan teorema di atas belum tentu berlaku.

Grup sklik adalah bentuk sederhana dari grup abel.

Lemma

(Algoritma Pembagian di Z)

Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat secara unik bilangan bulat q dan r sehingga,

n = mq + r      , dan 0 ≤ r  < m

Teorema 2

Subgrup dari suatu grup siklik adalah siklik juga

Akibat 1

Subgrup-subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan pasti berbentuk nZ, untuk n bilangan bulat.

>> Klasifikasi Grup Sklik

Misal G adalah Grup siklik dengan pembangun a..

Case 1. G dengan order Tak hingga. Pada kasus ini kita tidak dapat menemukan bilangan asli k dan l shingga ak = al . akibatnya semua an berbeda untuk setiap n bil. Asli.

Kita bias menamai ulang elemen grup siklik tak hingga lain dengan grup siklik tak hingga lainnya. Jadi, semua grup siklik tak hingga adalah mirip, hanya beda nama anggota dan operasinya.

Case 2. G dengan order berhingga. Ini adalah kebalikan kasus pertama. Kita selalu bias menemukan k dan l sehinga ak = al .

Dengan memvisualisasikan elemen dari grup siklik ke dalam bentuk lingkaran, kita bisa menentukan dimana tempat berakhirnya puteran dengan suatu operasi yang sudah di tentukan. Untuk menentukan dimana kamu akan berakhir, harus di cari q dan r sedemikian hingga

h + k = nq + r   untuk 0 ≤ r  < n           dalam mengalikan  ah dan ak .

nq menyatakan kamu memutari lingkaran sebanyak q kali dan kamu berakhir di ar .

Definisi Misalkan n suatu bilangan positif, h dan k sebarang bil. Bulat, terdapat bil. Bulat r sehingga :

h + k = nq + r   ,           0 ≤ r  < n

adalah jumlah modulo n dari h dan k.

Teorema 3

Himp. { 0,1,2,3…….n-1} adalah rup siklik Zn dengan operasi jumlah modulo.

Teorema  4

Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan di bangun  oleh a.

Misalkan  b G, dan misalkan b = as . maka b membangun subgroup H dari G yang terdiri dari n/d anggota dimana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.

Contoh : Pandang Z12 dengan pembangun a = 1. Karena pembagi sekutu terbesar dari 6 dan 12 adalah 6, maka 6 membangun subgroup yang terdiri dri 2 anggota, yakni

< 6 > = { 0, 6 }

Akibat  2

Jika a adalah pembangun dari grup siklik hingga G yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar damana r dan n relatife prim, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1.

ISOMORFISMA

Definisi Sebuah isomorfisma dari grup G ke grup G adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu dan pada dari G ke G dan untuk setiap x dan y di G berlaku

(xy)f = ( xf ) ( yf )

Grup G dan Gkemudian dikatakan isomorf.

Teorema 1

Jika f: G à G suatu isomorfisma dari G ke G, dan e adalah identitas dari G , maka ef identitas dari G. dan juga a-1 f = (af )-1 untuk semua a ∈ G.

>> Cara Menunjukkan Dua Grup Isomorf

Langkah 1        Definsikan fungsi f yang akan memberikan suatu isomorfisma dari G ke G.

Langkah 2        Tunjukkan f satu-satu

Langkah 3        Tunjukkan f pada

Langkah 4        Tunjukkan (xy)f = ( xf ) ( yf ) untuk semua x y G

>> Cara Menunjukkan Dua Grup Tidak Isomorf

Ini berarti tidak terdapat fungsi satu-satu dan pada dari G ke G dengan sifat     (xy)f = ( xf ) ( yf ). Tidak mudah mengecek grup yang anggotanya tak hingga, tetapi untuk yang berhingga, mudah di cek kedua grup tidak sama anggotanya.

Contoh : Z terhadap operasi jumlah tidak isomorf dengan R, karena tidak ada pemetaan satu-satu dan pada dari R ke Z.

Struktur dari sebuah Grup, mesti dimiliki oleh grup lain yang isomorf dengannya. Berikut contoh struktur dan non-struktur dari suatu grup.

Struktur

  1. Grupnya siklik
  2. komutatif
  3. order yang sama

Non- Struktur

  1. grup memuat 5
  2. semua elemen grup adalah angka
  3. subgroup dari grup lain.

Contoh : kita tidak bisa mengatakan bahwa grup Z dan 3Z atas operasi jumlah tidak isomorf dengan mengatakan 11 ∈ Z dan 11  ∉ 3Z. itu bukan struktur dari uatu grup.

Teorema Cayley

Setiap Grup isomorf pada suatu grup permutasi

Bukti. Misal diberikan sebarang grup G .Diberikan ide pengerjaannya sebagai berikut.

Langkah 1.       Temukan him. G dari permutasi yang merupakan khandidat yang akan membentuk grup dn akan isomorf dengan  G.

Langkah 2.       Buktikan  G adalah grup terhadap operasi kali permutasi

Langkah 3.       Definisikan pemetaan f: G à G , dan tunjukkan bahwa f suatu isomorfisma.

SAIN MEMANDANG AKHIR ZAMAN
Sains adalah pintu semua ini

 

Kehidupan mempunyai batas, begitu juga organisme. Kini, batas sudah tidak ada lagi karena rasa ketidakpuasan manusia yang tidak mengenal batas-batas. Abad ini merupakan kemunduran peradaban manusia, bukan kemajuan peradaban manusia. Banyak ahli mengatakan bahwa sains menyelamatkan manusia abad modern. Betapa hebatnya, ketika manusia menciptakan mesin uap, kapal, kereta api, lampu gas, computer, fotografi, AC, lampu gas, pesawat dan berbagai produk yang mengagumkan semua orang di dunia termasuk penulis. Ini merupakan kemajuan peradaban manusia.

 

Disinilah muncul bahwa manusia adalah mahluk sempurna dan luar biasa. Marxisme juga menyatakan bahwa sains sebagai penyelamat kehidupan. Pada akhirnya, manusia menjadi penguasa segala bidang, baik dari social, ilmu pengetahuan, sampai-sampai menjajah bulan. Sadar atau tidak sadar, pasa sat bersamaan, manusia menjadi tuan penguasa alam dan pebguasa dirinya sendiri:bebas.

 

Ternyata sains di abad globslisasi ini berbeda dengan tujuan yang diharapkan. Ilmuan tetap mengatakan dengan kredo humanistic bahwa pekerjaannya demi kebaikan manusia sebagai alat menyelamatkannya. Terbukti riset untuk saina memerlukan uang yang banyak. Ironisnya, ilmuan tahu bahwa temuannya harus dijual-belikan. Dewasa ini sains, sepenuhnya di kuasai oleh militer dan system ekonomi kapitalis global. Bisnis tetap bisnis, sains tidak bias menghidupi dirinya sendiri dan akhirnya membunuh kehidupan ekologis.

 

Manusia mengorbankan dirinya seperti juga mengorbankan segenap spesies lain dalam sebuah takdir yang asing dan bersifat coba-coba. Percobaan yang mengeluarkan budget/ anggaran nasional banyak menelurkan bencana efek global warning. Lantas, ujungnya bias saja zaman es yang menghancurkan Dinosaurus kembali lagi. Bukan berarti saya pesimis, ini mungkin saja terjadi bahwa dunia peradaban modern berjalan mundur, bukan maju seperti perhitungan peledakan bom menuju titik awal, yakni 0. artinya, menuju kehancuran.

 

 

KONTRAVERSI TENTANG ISTILAH ARMAGEDON Pada 17-19 tahun 2007 dunia disibukkan dengan berita tentang kemungkinan Perang Nuklir yang mengarah pada kehancuran dunia yang disebut Armagedon. Website, berita-berita surat kabar, maupun televise Negara-negara barat memberitahukan bahwa “Doomsday clock closer to nuclear Armagedon”(Jarum jam kiamat mendekati Armagedon nuklir). Stephen Hawking, ilmuan terkenal dengan buku A Brief History of Time, mengatakan: “sebagai pakar ilmiah, kami mengetahui bahayanya senjata nuklir dan kehancuran yang diakibatkannya. Kami melihat bagaimana aktivitas manusia dan teknologi memengaruhi jalan susunan iklim yang dapat mengubah kehidupan di bumi selama-lamanya. Pada 6 Agustus 1945, AS menjatuhkan bom atom di Hiroshima, Jepang. Bom itu membunuh dan memporakporandakan kehidupan manusia dengan akibat yang luar biasa. Sekira 13 km2 area hancur, sekurang-kurangnya 70.000 penduduk tewas, dan 69.000 cedera. Tiga hari kemudian, bom atom kedua dijatuhkan di Nagasaki yang membunuh 39.000 orang dan mencederai 25.000 orang. Lebih dari separuh bangunan di kota-kota tersebut luluh lantak. Mantan Menteri Pertahanan AS dan Profesor hubungan internasional di Institut Pengkajian Internasional Watson, Robert S. McNamara dan James G.Blight berkata :”kemungkinan terjadi kepunahan akibat nuklir itu nyata. Kemungkinan itu masih ada dewasa ini. Terlepas dari fakta bahwa Perang Dingin berakhir lebih dari satu dasawarsa yang lalu.” Kenyataannya memang demikian. Menurut pengakuan perdana menteri Israel Olmert, Israel juga telah mempunyai nuklir. Kemudian Indian dan Pakistan menjadi Negara-negara yang mengembangkan nuklir Continue Reading »

KONTRAVERSI KIAMAT 2012

Saya tidak memaksakan Anda percaya dengan apa yang Anda abaca.

  • Ø Riwayat Ramalan Kiamat

Masyarakat mengenal kiamat antara lain dari hancurnya peradaban-peradaban kuno. Balutan mitos dan legenda lintas generasi turut menegaskan ikhwal hilangnya kuno tersebut. Bagi sebagian besar orang, Atlantis, misalnya, adalah benua yang hilang, rumah pertama peradaban, dan tanah terang serta keemasan yang ditrbangkan oleh serangkaian ledakan. Ia kemudian ternaring lelap di dasar samudra dengan pucuk-pucuk pegunungannya menjulang dari atas laut.

 

Di luar dugaan, para arkeolog berhasil menemukan tumpukan tulang manusia. Jumlahnya mencapai 200 potong lebih yang merupakan tulang tengkorak anak yang berusia antara 10-15 tahun dan masih meninggalkan bekas dibunuh dengan benda tajam. Setelah itu para arkeolog juga menemukan sebuah biara pemujaan. Dalam temuan itu terbukti bahwa penduduk Crete telah melakukan pemujaan dengan mengorbankan manusia hidup. Di dalam biara tersebut ditemukan berbagai wadah dari bahan keramik yang digunakan untuk melakukan pemujaan. Di atas meja pemujaan, tergeletak seonggok tengkorak dari dari seorang remaja dengan tinggi badan sekitar 165 cm. di samping meja pemujaan juga ditemukan sebuah wadah untuk menampung darah sang korban dan sebilah pisau dari tambaga yang digunakan untuk membunuh. Sedangkan di dekat situ terdapat tumpukan tengkorak lain dengan posisi kepala mengadah ke atas dan mengenakan cincin perak di salah satu jarinya. Seonggok lagi adalah tengkorak yang sedang menutupi wajah korban. Kemungkinan adalah tengkorak ketua upacara beserta asistennya.

 

Dilihat dari keadaan situs temuan tersebut, arkeolog menyimpulkan bahwa saat para penduduk Crete sedang melangsungkan upacara pengorbanan manusia hidup-yang bertujuan untuk memohon agar terhindar dari bencana-justru telah mengundang terjadinya gempa bumi dan bencana maha dahsyat yang telah merobohkan dengan seketika atap temoat upacara berlangsung dan menimpa senua orang yang ada di dalamnya.

 

Dari sini juga dapat dilihat hubungan antara manusia dan alam. Sungai Amazon sudah mengalir entah berapa lama. Mungkin bumi juga telah mengalami beberapa kali perubahan, matahari terbit dan terbenam, pasang dan surut. Begitulah siklus ala mini. Tidak lambat juga tidak cepat, namun bergerak pasti. Jika alam dirusak, mungkin akan membawa dampak sesaat namun tidak akan abadi. Itulah mengapa perbincangan kiamat selalu berkaitan dengan manusia, alam, dan Tuhan. Bumi yang dihuni manusia bias hancur karena kesalahan manusia dan/atau kehendak Tuhan. Hal itu pula yang diyakini suku Maya di Amerika Selatan, termasuk ketika mereka melahirkan ramalan yang menghebohkan: kiamat akan terjadi pada 21 Desember 2012. Continue Reading »

HATI

Hati merupakan kelenjar terbesar di dalam tubuh, terletak dalam rongga perut sebelah kanan, tepatnya di bawah diafragma. Berdasarkan fungsinya, hati juga termasuk sebagai alat ekskresi. Hal ini dikarenakan hati membantu fungsi ginjal dengan cara memecah beberapa senyawa yang bersifat racun dan menghasilkan anomia, urea, dan asam urat dengan memanfaatkan nitrogen dari asam amino. Proses pemecahan senyawa racun oleh hati disebut proses detoksifikasi.

Sebagai kelenjar, hati menghasilkan empedu yang mencapai ½ liter setiap hari. Empedu berasal dari hemoglobin sel darah merah yang telah tua. Empedu merupakan cairan kehijauan dan terasa pahit. Zat ini disimpan di dalam kantong empedut . Empedu mengandung kolestrol, garam mineral, garam empedu, pigmen bilirubin, dan biliverdin. Empedu yang disekresikan berfungsi untuk mencerna lemak, mengaktifkan lipase, membantu daya absorpsi lemak di usus, dan mengubah zat yang tidak larut dalam air menjadi zat yang larut dalam air. Selengkapnya…

Perkembangan teknologi yang begitu pesat menurut manusia untuk selalu berpikir menjadi lokomotif perubahan. kita tidak bisa berdiam diri selagi manusia yang saling berlomba-lomba meningkatkan taraf hidup mereka, menciptakan teknologi dan membangun peradaban masyarakat moderen seperti sekarang ini. Persaingan global menuntut setiap manusia mengembangkan potensi-potensi agar mampu berkompetisi secara luas. Tak bisa dipundkiri lagi, membangkitkan pikiran-pikiran positif sangat diperlukan sebagai pondasi dalam menentukan tujuan-tujuan visioner. Keberhasilan dan kegagalan akan mewarnai manusia dalam menjalani perannya dalam perubahan. The Miracle Of Positif Thinkig memberikan 39 kunci emas dalam meraih keberhasilan. Penulis membahas 39 bab penting yang bisa menjadikan manusia meraih apa yang diinginkannya. Langkah-langkah praktis ditulis secara gamblang untuk mempermudah pembaca dalam memahami dan mempraktikan isi dari pembahasan. Sekaligus filosofi dari orang-orang sukses sebagai moto pengegrak mereka bisa dijadikan bahan perenungan. Tak salah lagi, saat-saat sperti yang ad saat ini yakni persaingan global yang begitu ketat sudah mulai kita rasakan sebagai laju perkembangan zaman.

Hati (qalbu) sebagaimana tubuh, juga dapat menjadi sakit. Namun sayangnya, orang yang mengidap penyakit hati sering kali tidak menyadari bahwa dirinya telah terjangkit penyakit-penyakit hati. Di bawah ini dijelaskan cara menghindari penyakit hati.

Ø Diet sembang, jumlah kalori yang dibutuhkan disesuaikan denhan tinggi badan, berat badan, dan aktivitas. Pada keadaan tertentu diperlukan diet rendah protein.
Ø Banyak makan sayur dan buah serta melakukan aktivitas sesuai kemampuan untuk mencegah sembelit.
Ø Menjalanka pola hidup yang teratur
Ø Konsultasi secara teratur dengan dokter Anda.
Ø Makasi….

Nikotin yang biasa kita kenal merupakan zat yang terkandung dalam rokok. Penghisap rokok sulit melepaskan diri dari kebiasaan tersebut meskipun sudah mengetahui efek buruk yang ditimbulkannya. Ini terjadi karena nikotin memberikan efek penenang pada system saraf pusat. Orang yang berhenti merokok akan merasa gugup, mengantuk, cemas, pusing, sakit kepala, letih, ketidakaturan gerakan lambung, berkeringat, dan kejang-kejang. Hal tersebut juga bisa terjadi pada orang yang sedang menghentikan kecanduannya terhadap narkoba.

Dalam kehidupan sehari-hari, laser digunakan pada berbagai bidang. Dalam penggunaannya, energi laser yang terpancar tiap satuan waktu dinyatakan dengan orde dari beberapa mW(Laser yand digunakan dalam system audio laser disk) sampai dengan beberapa MW(Laser yang digunakan untuk senjata). Besarnya energi laser yang dipilih bergantung pada penggunaannya. Pemanfaatan sinar laser misalnya pada bidang kedokteran, pelayanan (jasa), industri, astronomi, fotografi, elektronika, dan komunikasi.

Uraian selengkapnya sebagai berikut Continue Reading »

Alat Tubuh Terluas dan Terberat

Kulit merupakan pembukus elastis yang melindungi tubuh dari pengaruh lingkungan. Kulit juga merupakan alat tubuh terberat dan terluas, yakni 15% dari berat tubuh dengan luas 1,5-1,75 m2. tebal rata-rata 1-2 mm. lapisan kulit paling tebal 6mm terdapat di telapak kaki dan tangan. Sementara itu,  yang paling tipis 0,5mm terdapat di penis.

Next Page »



Follow

Get every new post delivered to your Inbox.