Grup Siklik dan ISOMORFISMA

Grup Siklik

Jika G adalah suatu grup, a ∈ G

H = { ­­­a I n ∈ Z }

Adalah subgroup dari G.

Jika di berikan grup G, dan a ∈ G, jika G =  { ­­­a I n ∈ Z }, maka G dikataka grup siklik yang dibangun oleh a. Notasi G = < a >

Teorema 1

Semua Grup Siklik adalah grup komutatif

Namun, kebalikan teorema di atas belum tentu berlaku.

Grup sklik adalah bentuk sederhana dari grup abel.

Lemma

(Algoritma Pembagian di Z)

Jika m adalah bilangan bulat positif dan n sebarang bilangan bulat, maka terdapat secara unik bilangan bulat q dan r sehingga,

n = mq + r      , dan 0 ≤ r  < m

Teorema 2

Subgrup dari suatu grup siklik adalah siklik juga

Akibat 1

Subgrup-subgrup dari Z terhadap operasi penjumlahan pasti berbentuk nZ, untuk n bilangan bulat.

>> Klasifikasi Grup Sklik

Misal G adalah Grup siklik dengan pembangun a..

Case 1. G dengan order Tak hingga. Pada kasus ini kita tidak dapat menemukan bilangan asli k dan l shingga ak = al . akibatnya semua an berbeda untuk setiap n bil. Asli.

Kita bias menamai ulang elemen grup siklik tak hingga lain dengan grup siklik tak hingga lainnya. Jadi, semua grup siklik tak hingga adalah mirip, hanya beda nama anggota dan operasinya.

Case 2. G dengan order berhingga. Ini adalah kebalikan kasus pertama. Kita selalu bias menemukan k dan l sehinga ak = al .

Dengan memvisualisasikan elemen dari grup siklik ke dalam bentuk lingkaran, kita bisa menentukan dimana tempat berakhirnya puteran dengan suatu operasi yang sudah di tentukan. Untuk menentukan dimana kamu akan berakhir, harus di cari q dan r sedemikian hingga

h + k = nq + r   untuk 0 ≤ r  < n           dalam mengalikan  ah dan ak .

nq menyatakan kamu memutari lingkaran sebanyak q kali dan kamu berakhir di ar .

Definisi Misalkan n suatu bilangan positif, h dan k sebarang bil. Bulat, terdapat bil. Bulat r sehingga :

h + k = nq + r   ,           0 ≤ r  < n

adalah jumlah modulo n dari h dan k.

Teorema 3

Himp. { 0,1,2,3…….n-1} adalah rup siklik Zn dengan operasi jumlah modulo.

Teorema  4

Misalkan G grup siklik dengan n anggota dan di bangun  oleh a.

Misalkan  b G, dan misalkan b = as . maka b membangun subgroup H dari G yang terdiri dari n/d anggota dimana d adalah pembagi sekutu terbesar dari n dan s.

Contoh : Pandang Z12 dengan pembangun a = 1. Karena pembagi sekutu terbesar dari 6 dan 12 adalah 6, maka 6 membangun subgroup yang terdiri dri 2 anggota, yakni

< 6 > = { 0, 6 }

Akibat  2

Jika a adalah pembangun dari grup siklik hingga G yang berorder n, maka pembangun yang lain dari G adalah ar damana r dan n relatife prim, yang mana berarti pembagi sekutu terbesar dari n dan r adalah 1.

ISOMORFISMA

Definisi Sebuah isomorfisma dari grup G ke grup G adalah sebuah fungsi yang bersifat satu-satu dan pada dari G ke G dan untuk setiap x dan y di G berlaku

(xy)f = ( xf ) ( yf )

Grup G dan Gkemudian dikatakan isomorf.

Teorema 1

Jika f: G à G suatu isomorfisma dari G ke G, dan e adalah identitas dari G , maka ef identitas dari G. dan juga a-1 f = (af )-1 untuk semua a ∈ G.

>> Cara Menunjukkan Dua Grup Isomorf

Langkah 1        Definsikan fungsi f yang akan memberikan suatu isomorfisma dari G ke G.

Langkah 2        Tunjukkan f satu-satu

Langkah 3        Tunjukkan f pada

Langkah 4        Tunjukkan (xy)f = ( xf ) ( yf ) untuk semua x y G

>> Cara Menunjukkan Dua Grup Tidak Isomorf

Ini berarti tidak terdapat fungsi satu-satu dan pada dari G ke G dengan sifat     (xy)f = ( xf ) ( yf ). Tidak mudah mengecek grup yang anggotanya tak hingga, tetapi untuk yang berhingga, mudah di cek kedua grup tidak sama anggotanya.

Contoh : Z terhadap operasi jumlah tidak isomorf dengan R, karena tidak ada pemetaan satu-satu dan pada dari R ke Z.

Struktur dari sebuah Grup, mesti dimiliki oleh grup lain yang isomorf dengannya. Berikut contoh struktur dan non-struktur dari suatu grup.

Struktur

  1. Grupnya siklik
  2. komutatif
  3. order yang sama

Non- Struktur

  1. grup memuat 5
  2. semua elemen grup adalah angka
  3. subgroup dari grup lain.

Contoh : kita tidak bisa mengatakan bahwa grup Z dan 3Z atas operasi jumlah tidak isomorf dengan mengatakan 11 ∈ Z dan 11  ∉ 3Z. itu bukan struktur dari uatu grup.

Teorema Cayley

Setiap Grup isomorf pada suatu grup permutasi

Bukti. Misal diberikan sebarang grup G .Diberikan ide pengerjaannya sebagai berikut.

Langkah 1.       Temukan him. G dari permutasi yang merupakan khandidat yang akan membentuk grup dn akan isomorf dengan  G.

Langkah 2.       Buktikan  G adalah grup terhadap operasi kali permutasi

Langkah 3.       Definisikan pemetaan f: G à G , dan tunjukkan bahwa f suatu isomorfisma.




    Leave a Reply

    Fill in your details below or click an icon to log in:

    WordPress.com Logo

    You are commenting using your WordPress.com account. Log Out / Change )

    Twitter picture

    You are commenting using your Twitter account. Log Out / Change )

    Facebook photo

    You are commenting using your Facebook account. Log Out / Change )

    Google+ photo

    You are commenting using your Google+ account. Log Out / Change )

    Connecting to %s



%d bloggers like this: